selectionStart でキャレットの位置を取得する

selectionStartを使う。

selectionStart - Mozilla | MDN

イベントと組み合わせて使う。

イベント DOM API 結果
keydown selectionStart 直前の位置を取得
keyup selectionStart 直前の位置を取得

jQuery だとこう。

$('input.selector').on('keyup', function(e) {
  // カーソル位置取得
  var cursorPosition = this.selectionStart;

  //ひとつ右にずらす
  cursorPosition++;

  // カーソル位置セットする
  $(this).focus().get(0).setSelectionRange(cursorPosition, cursorPosition);

}).change();